지배방정식 - 질량 보존 법칙 (Mass Conservation)

안녕하세요! 이번 주에는 유체역학이 CFD 내에서 어떻게 쓰이는지를 알아보려고 합니다!

 

CFD를 이용하여 유체의 유동 현상을 기술하기 위해서는 먼저 지배 방정식을 알아야 하는데요,

 

이때 지배 방정식 이란 유체 유동에 대한 물리적인 보존 법칙을 수학적으로 표현한 식이라고 할 수 있습니다.

 

여기에는 질량 보존 법칙, 운동량 보존 법칙, 에너지 보존 법칙 총 3가지 법칙이 존재합니다.

 

오늘은 질량 보존 법칙에 대하여 간단히 알아보겠습니다!

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질량 보존 법칙 (Mass Conservation)

 

질량 보존 법칙이란 어떤 시스템이나 검사체적이 시간에 따른 변화율이 없는 것을 의미합니다.

즉 쉽게 말하면 질량의 시간 변화율은 0 이라고 할 수 있는데요, 식은 다음과 같습니다!

검사체적에 대한 질량 보존

위의 식은 미소 유체 요소를 생각했을 때 검사 체적 내 유체 질량의 증가율은 검사 표면을 통해 유입되는 유체의 질량 유량과 동일하다고 보았을 때 적용되는 식입니다.

 

위의 식을 x, y, z 방향에 대하여 각각 정리하면 아래의 식이 나오게 됩니다.

연속 방정식 (압축성)

위의 식을 연속 방정식이라고 부르고 압축성인 경우, 즉 밀도가 상수가 아닐 경우 연속 방정식은 위와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

하지만 위의 방정식에서 비압축성인 경우 (밀도가 일정한 경우) 라면 식은 아래와 같이 변하게 됩니다.

연속 방정식 (비압축성)

밀도가 상수이기 때문에 위와 같은 식을 얻을 수 있게 됩니다.

여기서 t에 대한 항이 비압축성이라는 가정을 통하여 사라지게 되었습니다.

비압축성 유동은 시간에 대해 무관하다, 정상 유동이든 비정상 유동이든 위의 식이 성립한다고 볼 수 있습니다!

 

질량 보존 법칙을 쉽게 표현하자면

 

공간 내의 질량은 일정하다! 어떤 공간으로 들어오는 질량과 나가는 질량은 동일해야 한다!

 

라고 표현할 수 있겠습니다.

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이번 주에는 유체 유동에 대한 지배 방정식 중 질량 보존 법칙에 대해 알아보았는데요

 

다음 주에는 나머지 지배 방정식에 대하여 알아보겠습니다!